Le mot discriminant semble compliqué, n’est-ce pas ? Pourtant, derrière ce nom un peu barbare se cache une idée toute simple. En mathématiques, le discriminant est un outil qui nous aide à savoir combien de solutions possède une équation du second degré — c’est-à-dire une équation qui contient un x2.
Autrement dit, le discriminant, c’est un peu comme un feu de signalisation :
- Vert : il y a deux solutions.
- Orange : il y en a une seule.
- Rouge : il n’y en a pas du tout (en tout cas pas de solution réelle).
Mais avant de parler de ce feu magique, voyons d’abord à quoi ressemble une équation du second degré.
- Les équations du second degré
- La formule magique du discriminant
- Les trois cas possibles
- Pourquoi c’est utile ?
- Quelques astuces pour ne pas se tromper
- Voir le discriminant autrement : le dessin qui explique tout
- Petit détour par le développement web
- Un exemple complet pas à pas
- Pour bien comprendre : visualisons tout ça
- 10. Exercice d’entraînement
- En résumé
Les équations du second degré
Une équation du second degré, c’est une équation qui contient un carré, c’est-à-dire un x2. Sa forme « standard » s’écrit ainsi :
ax2 + bx + c = 0
où :
- a, b et c sont des nombres connus (des coefficients),
- et x est la valeur inconnue que l’on cherche à trouver.
Par exemple :
2x2 + 3x − 5 = 0
Ici, a=2, b=3 et c=−5.
L’objectif est de trouver les valeurs de x qui rendent cette égalité vraie.
La formule magique du discriminant
Le discriminant, noté par la lettre grecque Δ (prononcez “delta”), se calcule grâce à la formule suivante :
Δ = b2 − 4ac
C’est un simple calcul, mais il nous donne une information précieuse : selon la valeur de Δ, on saura si l’équation du second degré possède 0, 1 ou 2 solutions.
Prenons une analogie simple avec le développement web : imaginez que vous avez un script PHP ou JavaScript qui doit afficher des messages différents selon le résultat d’un test. Par exemple :
if (delta > 0) {
console.log("Deux solutions !");
} else if (delta === 0) {
console.log("Une seule solution !");
} else {
console.log("Aucune solution réelle !");
}Le discriminant joue exactement ce rôle en mathématiques : il décide de quel “chemin” suivre pour trouver les solutions.
Les trois cas possibles
Maintenant que vous savez comment le calculer, voyons ce qu’il nous dit selon sa valeur.
Premier cas : Δ>0
Cela signifie que le discriminant est positif. Dans ce cas, l’équation a deux solutions réelles distinctes, que l’on calcule grâce à la formule :
x1 = (−b − √Δ) / 2a et x2 = −b + √Δ / 2a
Prenons un exemple concret :
x2 − 5x + 6 = 0
Ici, a=1, b=−5 et c=6.
Calculons le discriminant :
Δ = (−5)2 − 4×1×6 = 25 − 24 = 1
Le résultat est positif, donc il y a deux solutions :
x1 = (5 − 1) / 2 = 2 et x2 = (5 + 1) / 2 = 3
Donc, les solutions sont x=2 et x=3.
C’est comme si votre code JavaScript avait deux chemins possibles selon le résultat : deux “routes” valides.
Deuxième cas : Δ=0
Quand le discriminant vaut exactement zéro, cela signifie que l’équation n’a qu’une seule solution. C’est un peu comme une fonction qui ne retourne qu’une seule valeur possible.
La formule devient alors plus simple :
x = −b / 2a
Exemple :
x2 − 4x + 4 = 0
Ici, a=1, b=−4 et c=4.
Δ = (−4)2 − 4×1×4 = 16 − 16 = 0
Donc une seule solution :
x = 4 / 2 = 2
Le résultat est unique : x=2.
En développement web, c’est un peu comme une condition qui ne donne qu’un seul résultat possible, quoi qu’il arrive.
Troisième cas : Δ<0
Quand le discriminant est négatif, il n’existe aucune solution réelle. Cela signifie que, sur le plan des nombres que vous connaissez (les nombres réels), l’équation ne “touche” jamais zéro.
Exemple :
x2 + 4x + 5 = 0
Ici :
Δ = 42 − 4×1×5 = 16 − 20 = −4
Le résultat est négatif, donc il n’y a pas de solution réelle.
C’est comme si, dans votre code, vous demandiez à une fonction de renvoyer une valeur impossible. Elle renverrait peut-être une erreur ou “undefined”.
Des formations informatique pour tous !
Débutant ou curieux ? Apprenez le développement web, le référencement, le webmarketing, la bureautique, à maîtriser vos appareils Apple et bien plus encore…
Formateur indépendant, professionnel du web depuis 2006, je vous accompagne pas à pas et en cours particulier, que vous soyez débutant ou que vous souhaitiez progresser. En visio, à votre rythme, et toujours avec pédagogie.
Découvrez mes formations Qui suis-je ?Pourquoi c’est utile ?
Le discriminant, c’est un outil qui vous évite de tâtonner. Au lieu d’essayer des valeurs au hasard, il vous indique avant même de chercher combien de réponses existent et comment les trouver.
C’est un peu comme si, avant de lancer un programme, vous saviez déjà s’il va planter ou non. D’ailleurs, les développeurs font un peu la même chose : ils testent des conditions pour éviter les erreurs. Le discriminant est donc une sorte de “test de bug” mathématique avant d’aller plus loin.
Quelques astuces pour ne pas se tromper
Quand vous calculez un discriminant, prenez toujours le temps de bien identifier vos coefficients a, b et c. Ils doivent correspondre exactement à la forme ax2 + bx + c = 0.
Si l’équation n’est pas sous cette forme, remettez-la au propre avant de commencer.
Et surtout, attention aux signes ! Un signe négatif oublié peut tout changer, un peu comme une parenthèse manquante en PHP ou JavaScript.
Voir le discriminant autrement : le dessin qui explique tout
Les mathématiques, ce n’est pas que des formules : c’est aussi des images. Une équation du second degré correspond en réalité à une courbe bien connue appelée parabole.
Cette parabole représente l’ensemble des points dont les coordonnées (x,y) respectent l’équation y = ax2 + bx + c. Et selon la valeur du discriminant, cette courbe va couper l’axe des abscisses (l’axe du bas) de manière différente :
- Si Δ>0, la parabole coupe deux fois l’axe des abscisses.
→ Il y a deux solutions : deux points d’intersection. - Si Δ=0, la parabole touche une seule fois l’axe.
→ Une seule solution. - Si Δ<0, la parabole ne touche pas du tout l’axe.
→ Aucune solution réelle.
Essayons d’imaginer cela. Pensez à une route (l’axe des abscisses) et à un pont en arc (la parabole). Parfois, le pont touche la route à deux endroits, parfois à un seul (un tremplin par exemple ou un pont qui relie une route à un chemin), et parfois, il la survole sans jamais la toucher.
Cette image est très parlante : le discriminant, c’est ce qui vous dit si le pont touche la route ou pas.
Petit détour par le développement web
Si vous avez déjà codé un site web, vous avez sûrement remarqué qu’on utilise souvent des conditions pour vérifier des états. Par exemple, en JavaScript, vous pouvez vérifier si une variable a une certaine valeur avant d’exécuter un code.
Prenons un exemple simple : vous voulez afficher un message différent selon le nombre de solutions de votre équation.
let a = 1;
let b = -5;
let c = 6;
let delta = b*b - 4*a*c;
if (delta > 0) {
console.log("Il y a deux solutions !");
} else if (delta === 0) {
console.log("Il y a une seule solution !");
} else {
console.log("Aucune solution réelle !");
}Vous voyez ? Le code reproduit exactement la logique du discriminant. Le navigateur joue ici le rôle du “cerveau mathématique” : il calcule, il teste, et il affiche le bon résultat selon les conditions.
C’est d’ailleurs une très bonne habitude à prendre : même en mathématiques, raisonner comme un programmeur, c’est structurer votre réflexion étape par étape. Et c’est exactement ce que fait le calcul du discriminant.
Un exemple complet pas à pas
Prenons ensemble un exemple que vous pourriez rencontrer lors d’un examen :
2x2 − 3x − 2 = 0
Étape 1 : Identifier les coefficients a=2, b=−3 et c=−2.
Étape 2 : Calculer le discriminant
Δ = (−3)2 − 4×2×(−2) = 9 + 16 = 25
Étape 3 : Interpréter le résultat
Le discriminant est positif, donc il y a deux solutions.
Étape 4 : Calculer les solutions
x1 = (−b − √Δ) / 2a = (3 − 5) / 4 = −1/2
x2 = (−b + √Δ) / 2a = (3 + 5) / 4 = 2
Résultat final : x=−0,5 et x=2
Et voilà ! Vous venez de résoudre une équation du second degré, pas à pas, avec l’aide du discriminant.
En développement web, on pourrait imaginer un petit script HTML/JS qui automatise tout ça :
<label>a: <input type="number" id="a" value="2"></label>
<label>b: <input type="number" id="b" value="-3"></label>
<label>c: <input type="number" id="c" value="-2"></label>
<button onclick="calculer()">Calculer Δ</button>
<p id="resultat"></p>
<script>
function calculer() {
let a = parseFloat(document.getElementById("a").value);
let b = parseFloat(document.getElementById("b").value);
let c = parseFloat(document.getElementById("c").value);
let delta = b*b - 4*a*c;
let message;
if (delta > 0) {
let x1 = (-b - Math.sqrt(delta)) / (2*a);
let x2 = (-b + Math.sqrt(delta)) / (2*a);
message = `Δ = ${delta}. Deux solutions : x₁ = ${x1}, x₂ = ${x2}`;
} else if (delta === 0) {
let x = -b / (2*a);
message = `Δ = ${delta}. Une seule solution : x = ${x}`;
} else {
message = `Δ = ${delta}. Aucune solution réelle.`;
}
document.getElementById("resultat").textContent = message;
}
</script>Cet exemple n’est pas là pour que vous le reteniez par cœur, mais pour vous montrer que les mathématiques peuvent prendre vie dans une page web. Le discriminant devient une fonction logique que le code peut comprendre, calculer et afficher.
Pour bien comprendre : visualisons tout ça
Imaginez qu’on représente notre équation y = ax2 + bx + c sur un graphique interactif. Si vous modifiez les valeurs de a, b et c, la forme de la courbe change immédiatement.
Quand vous augmentez a, la parabole devient plus “resserrée” ou plus “aplatie”. Quand vous changez b, elle se déplace sur le côté. Et quand vous modifiez c, elle monte ou descend.
En regardant le graphique, vous voyez directement si elle coupe l’axe des abscisses une fois, deux fois, ou jamais. Et devinez quoi ? Cela correspond exactement au discriminant !
Les professeurs de maths disent souvent :
“Tracer une parabole, c’est voir le discriminant sans le calculer.”
10. Exercice d’entraînement
Essayons pour terminer un petit exercice simple.
Résolvez l’équation suivante :
x2 + 2x + 1 = 0
- Identifiez a, b et c.
- Calculez le discriminant Δ.
- Déduisez le nombre de solutions et calculez-les si elles existent.
Correction :
a=1 ,b=2 et c=1
Δ = 22 − 4×1×1 = 4 − 4 = 0
Donc une seule solution :
x = −2 / 2 = −1
Résultat : x=−1.
Votre équation a une seule solution : la parabole touche l’axe des abscisses au point (-1, 0).
En résumé
Le discriminant n’est pas un monstre mathématique : c’est un outil intelligent. Il vous dit, avant même de résoudre, combien de solutions existent et lesquelles chercher. C’est un peu comme un “test conditionnel” dans votre code : il oriente la suite du raisonnement.
Et surtout, il montre que les mathématiques et le développement web ne sont pas si éloignés : dans les deux cas, on raisonne, on teste, on anticipe, et on cherche à comprendre comment les choses fonctionnent.
